Comment calculer le volume d'une calotte sphérique en utilisant le calcul

L’approche générale du calcul des volumes d’objets à surfaces courbes s’appuie sur la théorie principale de l’intégration. En substance, l’objet tridimensionnel est découpé en tranches de plus en plus petites et l’approche du volume de chacune de ces parties est simplifiée. Pour trouver le volume d’une calotte sphérique, la formulation la plus simple consiste à imaginer un empilement de grands cylindres courts superposés. Le volume est calculé comme la hauteur à zéro de chacun de ces cylindres, générant des approximations plus précises.

Écrire l'intégrale

Déterminez le diamètre ou le rayon de votre calotte sphérique dans sa partie la plus large.

Détermine la hauteur de la calotte sphérique.

Faites la racine carrée des nombres des étapes 1 et 2 et ajoutez-les. Divisez ce nombre par deux fois le nombre indiqué à l'étape 2. Cela vous donne R, le rayon de la sphère à partir de laquelle la calotte sphérique a été coupée.

Écrivez "V =", suivi du symbole d'intégration.

Soustrayez le nombre que vous avez calculé à l'étape 2 de R et écrivez ce nombre au bas du symbole d'intégration.

Écrivez la valeur de R en haut du symbole d'intégration.

Écrivez pi, suivi d'une parenthèse, après le symbole d'intégration.

Créez la racine carrée de la valeur de R et écrivez-la après les parenthèses, suivie du signe moins.

Écrivez "x ^ 2", suivi des parenthèses fermantes. Il suffit d'écrire l'intégrale avec "dx".

Evaluer l'intégrale

Multipliez pi dans les parenthèses, résultant en pi * x ^ 2 soustrait d'une constante.

Evaluez le premier terme de l'intégrale en multipliant la constante par la hauteur de la calotte sphérique (en fait, R - a, les deux extrêmes de l'intégrale), et en la déplaçant en dehors de l'intégrale. L'équation doit maintenant être sous la forme "V = C (R - a) - [intégrale définie de a à R] pi * x ^ 2 dx", où C est la racine carrée de R fois pi et R est la hauteur. de la calotte sphérique.

L'intégrale restante est évaluée à 1/3_pi_ (R ^ 3), 1 / 3_pi_ (a ^ 3). Ainsi, la formule générale pour le volume d’une calotte sphérique est V = C (R - a), 1 / 3_pi_ (R ^ 3) + 1 / 3_pi_ (a ^ 3), où C est déjà tel que décrit à l’étape suivante. 2 et R est tel que décrit à l'étape 3 de la section précédente.

Remplacer R moins la hauteur de la calotte sphérique ("h") pour a, évaluer les cubes et simplifier les résultats en V = 1 / 3_pi_h ^ 2 * (3R - h), la formule algébrique standard pour le volume d'un casquette sphérique